BlueMath 수리논술 증명 스페셜 — 선택편: 미적분·확률과 통계·기하

미적분·확률과 통계·기하의 증명을 조건 해석부터 제출용 답안까지 연습하는 자료입니다.

학습 대상과 범위
선택편은 미적분·확률과 통계·기하가 출제 범위에 포함되는 모든 수리논술 대학을 위한 범용 증명 자료입니다. 특정 대학 한 곳의 공식 전용 기출집이 아닙니다. 지원 대학에서 평가하는 과목을 확인한 뒤 해당 과목부터 선택하여 학습합니다. 공통 개념이 선수지식으로 사용될 수 있으므로 문항별 선수개념과 공통편 연결 안내를 함께 확인합니다.

자료 구성
- 선택 범위26학습묶음: 미적분18묶음(E001–E018), 확률과 통계5묶음(E019–E023), 기하3묶음(E024–E026).
- 문제편30쪽. 상세해설·제출용 모범답안은1권40쪽·2권22쪽으로 총62쪽입니다.
- 결론·증명전략 요약10쪽, 과목별 목차·학습 순서·출처·연결 안내5쪽, 미리보기19쪽.
- 구매자용 PDF와 ZIP. 미리보기에는 전체 수록목록·증명목표·실제 출처와 대표 문제 및 연결된 상세해설·모범답안이 포함됩니다.

어떻게 공부하나요?
1. 지원 대학의 해당 학년도 출제 범위를 확인하고 미적분·확률과 통계·기하 중 필요한 과목을 고릅니다.
2. 문항별 선수개념을 확인합니다. 공통 개념이 부족하면 공통편의 연결 문항부터 복습합니다.
3. 선택과목 문제를 직접 풀고 상세해설에서 조건과 논증의 연결을 확인합니다.
4. 제출용 모범답안과 자신의 답안을 대조하여 논리의 생략과 표현을 고칩니다.
5. 결론·증명전략 요약으로 복습하고, 복합 문항은 표시된 관련 과목을 함께 확인합니다.

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구매 전 확인
결론·증명전략 요약은 빠르게 복습하기 위한 자료입니다. 증명 문항을 억지 숫자답으로 바꾸지 않고, 무엇을 보이면 되는지와 사용할 조건·정리·출발점을 안내합니다. 상세해설과 제출용 모범답안을 대신하지 않습니다.
이 자료는 BlueMath가 구성한 수리논술 학습 자료이며, 대학이 발행하거나 승인한 공식 전용 기출집이 아닙니다. 원문·발췌·기존 편집·변형의 구분과 실제 출처는 문항별 표시를 따릅니다. 대학명은 학습 대상과 실제 출처를 구별하여 읽어 주세요.
과목명만으로 학습 범위를 판단하지 않고 문항별 단원·선수개념 표시를 확인해 주세요. 지원 대학의 해당 학년도 출제 범위는 별도로 확인해야 합니다. 모든 대학·모든 학년도의 증명 문항을 빠짐없이 수록했다는 뜻이 아니며 합격이나 적중을 보장하지 않습니다.

BlueMath 블루수학 | 수능·내신·수리논술 최민구

서강대학교 수학과 졸업 · 20년 이상 고등수학 지도

현) 최강교육 고등관 부원장 · 수능·내신·수리논술 강사
현) 대치메이드 목동 수리논술 강사
현) 시대원×에픽 영통·광교 수리논술 강사
현) 논술랭 수리논술 인강 강사
전) 재수종합반 수능만점반·수리논술 특강 5개년 연속 마감
전) 메가스터디 강사
전) 비타에듀 강사

▪ 네이버 강사 프로필
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▪ 수리논술 합격자 현황
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대학별 수리논술 파이널과 수능·내신 PDF 자료를 제공합니다. 현장 수업 경험을 바탕으로, 문제 접근부터 답안 완성까지 ‘왜 그렇게 푸는지’ 설명하는 상세해설을 담습니다.

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※ 오프라인 수강생용 추가 최종점검 스페셜 자료와 첨삭리포트는 온라인 구매에 포함되지 않습니다.

선택26학습묶음: 미적분18(E001–E018)·확률과 통계5(E019–E023)·기하3(E024–E026)

1. 문제편30쪽
2. 상세해설·제출용 모범답안1권40쪽·2권22쪽(총62쪽)
3. 결론·증명전략 요약10쪽
4. 목차·범위·학습 순서·출처·연결 안내5쪽
5. 미리보기19쪽

[미적분]
E001 | 지수함수와 삼각함수로 정의된 함수의 미분가능성
증명목표: 지수적 감소와 삼각함수의 진동이 결합된 함수의 원점 미분가능성과 도함수의 연속성을 확인합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 7-2 (원교재 PDF 42쪽) · 서강대 2013 수시 변형 · 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
E002 | 진동함수의 도함수 연속 조건
증명목표: 진동함수의 도함수를 구하고 거듭제곱의 지수에 따라 원점에서 도함수가 연속일 필요충분조건을 판정합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 7-3 (원교재 PDF 43쪽) · 서울대 2006 정시 구술/ 한양대 2013 모의 변형 · 변형(교재 표기; 복수 출처); 대학 원문 별도 미대조 · 이번 권 수록: (4)
E003 | 서로 다른 실근과 변곡점의 개수
증명목표: 서로 다른 여러 실근을 갖는 다항함수에서 실제 오목·볼록이 바뀌는 변곡점의 개수를 확보합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 8-2 (원교재 PDF 48쪽) · 원대학·원시험 출처 미확인
E004 | 삼각함수에 평균값 정리 적용
증명목표: 적절한 사인함수와 길이 1인 구간을 선택하여 주어진 등식을 만족하는 내점의 존재를 보입니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 2교시 문제 1 [2] · 대학 공식 원문 대조
E005 | 평균값 정리로 지수함수 부등식 증명
증명목표: 평균값 정리를 이용하여 양의 입력에서 지수함수가 일차식보다 큼을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 9-3 (원교재 PDF 51쪽) · 한양대 2013 수시 변형 · 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
E006 | 사인함수와 삼차함수의 대소 관계
증명목표: 사인함수의 직선 비교 부등식을 증명하고 삼차함수와 도함수가 같아지는 내점의 유일성 및 두 함수의 대소관계를 보입니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2026학년도 수시 논술(논술전형) · 자연계열Ⅰ 문제 1 (1)–(4) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (2), (3), (4)
E007 | 로그 그래프의 선분 길이와 수열의 극한
증명목표: 로그함수 그래프의 두 교점 사이 길이를 구하여 그 길이비의 수열 극한을 계산합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 2교시 문제 1 [1](1)–(4) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1)
E008 | 증가함수와 역함수의 정적분
증명목표: 도함수 조건에서 곱함수의 증가와 역함수 존재를 확인하고 역함수의 정적분을 나타냅니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2025학년도 수시 논술전형 · 자연계열Ⅰ 문제 1 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조
E009 | 절댓값 삼각함수의 미분가능성과 증가
증명목표: 절댓값 삼각함수의 접합점 미분가능성·증가성·근의 개수와 역함수의 미분조건을 판단합니다.
실제 출처: 서강대학교 2025학년도 자연계열 2차 문제 2, 2-1–2-4 · 공개 재게시본 대조
E010 | 로그 보조함수와 값의 존재 및 유일성
증명목표: 밑과 지수가 동시에 변하는 함수의 두 극한과 감소성을 확인하고 정해진 값을 갖는 점의 존재·유일성을 증명합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2026학년도 수시 논술(논술전형) · 자연계열Ⅱ 문제 2 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조
E011 | 적분으로 주어진 함수의 식과 극값
증명목표: 적분방정식에 부분적분을 적용하여 누적 적분의 영점과 원함수의 식·극값을 구합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2025학년도 수시 논술전형 · 자연계열Ⅰ 문제 3 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (2), (3)
E012 | 역함수 적분과 곱의 정적분 부등식
증명목표: 구간별 역함수의 적분을 구하고 매개변수 조건과 함수값 범위로 두 함수 곱의 정적분 부등식을 증명합니다.
실제 출처: 한양대학교 서울 2026학년도 · 학생부종합(면접형) 제시문 면접 자연계열 수학 · 1번 · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1-3), (1-4)
E013 | 부분적분으로 판단하는 정적분의 부호
증명목표: 지수함수와 삼각함수의 곱을 적분하고 도함수 관계 및 부분적분으로 다른 정적분의 엄격한 부호를 증명합니다.
실제 출처: 인하대학교 2025학년도 자연계열 오전 문제 1, 1-1–1-3 · 공개 재게시본 대조 · 이번 권 수록: (1-2), (1-3)
E014 | 삼각함수의 오차를 이용한 정적분 부등식
증명목표: 사인함수의 다항식 근사 오차의 최대·최소를 구하고 이를 삼각함수 정적분의 오차 평가에 사용합니다.
실제 출처: 도쿄대학교 2026 · 제2차 학력시험 전기일정 수학(이과) · 제1문 (1)–(2) · 대학 공식 원문 대조
E015 | 임의의 대표점으로 만든 구분구적합의 수렴
증명목표: 증가함수의 임의 대표점 합을 같은 상합·하합 사이에 놓아 넓이로의 수렴을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 12-3 (원교재 PDF 76쪽) · 서울시립대 2015 모의 / 한양대 2012 모의 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
E016 | 로그수열의 기본극한
증명목표: 로그 수열의 식을 미분계수의 정의와 연결하여 지정된 수열의 극한을 구합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 1교시 문제 1 [1](1)–(2) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1)
E017 | 적분의 영점으로 정의한 수열의 극한
증명목표: 누적 적분의 양수 부분을 거듭제곱으로 아래에서 비교하여 적분의 영점으로 정한 수열의 극한을 증명합니다.
실제 출처: 옥스퍼드대학교 2022 · MAT · 문제 3 (i)–(vi) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (vi)
E018 | 삼각함수의 정적분으로 얻는 수열의 극한
증명목표: 삼각함수 적분의 점화식을 증명하고 적분비와 홀짝 곱의 극한을 연결합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2025학년도 수시 논술전형 · 자연계열Ⅱ 문제 3 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조

[확률과 통계]
E019 | 이항전개로 증명하는 조합항등식
증명목표: 이항정리를 이용하여 같은 다항식의 계수를 두 방식으로 비교하고 일반적인 조합의 합 항등식을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 22 문제 22-4 (원교재 PDF 150쪽) · 교재 표기: 서울대 2002 수시 변형. 대학 원문 미대조. · 이번 권 수록: (2)
E020 | 짝짓기에 관계없이 일정한 평균
증명목표: 정수들을 어떻게 짝지어도 같은 확률로 한 쌍을 고를 때의 기댓값은 바뀌지 않음을 설명합니다.
실제 출처: 연세대학교 서울캠퍼스 2024학년도 · 수시모집 논술전형 자연계열 수학 · 3-1 · 대학 공식 원문 대조
E021 | 기댓값과 분산 공식을 정의로 증명
증명목표: 확률분포의 정의에서 일차변환의 기댓값·분산 공식과 제곱의 기댓값 관계를 직접 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 23 문제 23-1 (원교재 PDF 157쪽) · 교재 표기: 서강대 2012 수시. 대학 원문 미대조.
E022 | 거스름돈을 줄 수 있는 줄의 확률
증명목표: 처음 거스름돈을 줄 수 없는 위치를 나누어 모든 손님에게 판매할 확률을 구합니다.
실제 출처: 케임브리지대학교 입학 활용 시험 2011 · STEP I · 문제 12 (i)–(iii) · 대학 공식 원문 대조
E023 | 조건부확률의 방향을 바꾼 주장의 반박
증명목표: 검사의 적중률과 양성 판정 뒤의 실제 확률을 구별하여 조건부확률의 방향을 바꾼 주장을 반박합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 22-9 (원교재 PDF 155쪽) · 고려대 2008 수시(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조

[기하]
E024 | 타원의 반사 성질과 중심 작도
증명목표: 타원의 접선에 대한 반사 성질을 벡터로 증명하고 서로 다른 방향의 평행한 현의 중점으로 중심을 찾는 원리를 설명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 19 문제 19-2 (원교재 PDF 136쪽) · 교재 표기: 연세대 2008 예시/아주대 2009 예시/아주대 2013 수시/서울대 2008 예시. 소문항별 원출처 미확인. · 이번 권 수록: (1), (3)
E025 | 평면벡터의 조건으로 내적의 양수성 증명
증명목표: 곱의 미분법과 벡터의 평행·수직·길이 조건을 연결하여 주어진 내적의 양수성을 증명합니다.
실제 출처: 연세대학교 서울캠퍼스 2025학년도 · 수시모집 논술전형(추가시험) 자연계열 수학 · 3-3 · 대학 공식 원문 대조
E026 | 계속 생성되는 반직선이 한 점을 지나지 못함의 증명
증명목표: 반직선을 계속 생성하는 규칙에서 유지되는 내적의 부호를 찾아 특정 점을 지날 수 없음을 증명합니다.
실제 출처: 연세대학교 서울캠퍼스 2024학년도 · 수시모집 논술전형 자연계열 수학 · 4-1, 4-2 · 대학 공식 원문 대조