BlueMath 수리논술 증명 스페셜 — 공통편

공통 범위의 수리논술 증명을 조건 해석부터 제출용 답안까지 연습하는 자료입니다.

학습 대상과 범위
공통편은 모든 수리논술 대학의 공통 범위 대비를 위한 자료입니다. 항공대 이학계열·서울여대·한국외대 글로벌 등 공통 증명을 준비하는 학생에게 특히 유용하도록 구성했습니다. 기존 항공대 이학 대비 증명 자료, 기존 전 범위 증명 자료와 『Blue Math 수리논술 개념총정리』의 공통 문항을 대조하여 공통 범위 학습 자료를 이 편에 모았습니다. 선택 미적분·확률과 통계·기하의 개념이 필요한 문항은 선택편으로 구분합니다.
최민구T는 항공대 이학계열, 특히 항공운항학과 지원 학생에게 공통편의 증명 학습을 필수 학습으로 권합니다. 이는 최민구T의 학습 권고이며, 대학이 지정한 공식 교재 또는 필수 구매 조건이라는 뜻이 아닙니다.

자료 구성
- 공통 범위77학습묶음: C001–C077.
- 문제편82쪽. 상세해설·제출용 모범답안은1권62쪽·2권63쪽·3권62쪽으로 총187쪽입니다.
- 결론·증명전략 요약24쪽, 목차·학습 순서·수록 대응·출처 안내9쪽, 미리보기26쪽.
- 구매자용 PDF와 ZIP. 미리보기에는 전체 수록목록·증명목표·실제 출처와 대표 문제 및 연결된 상세해설·모범답안이 포함됩니다.

어떻게 공부하나요?
1. 목차에서 학습할 단원과 선수개념을 확인합니다.
2. 문제의 조건과 보일 결론을 나누고 직접 서술합니다.
3. 귀납가정·보조함수·사잇값정리·롤의정리·평균값정리 등의 가정과 적용 구간을 점검합니다.
4. 상세해설에서 방법을 선택한 이유, 끝점과 내점의 구별, 중간 논증을 확인합니다.
5. 제출용 모범답안으로 자신의 서술을 고친 뒤 결론·증명전략 요약으로 복습합니다.

상품 선택 안내
공통편과 선택편은 각각 39,000원에 독립적으로 판매하는 별도 상품입니다. 공통 범위의 증명을 학습하려면 공통편을, 미적분·확률과 통계·기하의 증명을 학습하려면 선택편을 고릅니다. 지원 대학의 출제 범위와 이미 보유한 자료를 확인하여 필요한 상품을 선택해 주세요.
선택편은 공통편을 통째로 다시 제공하는 상품이 아닙니다. 기존 BlueMath 공통·항공대 이학·학교별 증명 자료를 갖고 있다면 수록 대응과 미리보기를 먼저 확인해 주세요. 기존 자료 재사용 부분과 안내·해설·요약의 보완을 모두 새 문항으로 세지 않습니다.
기존 항공대 이학 증명42와 통합 증명57의 숫자를 단순 합산하여 새 고유문항 수로 안내하지 않습니다. 완전히 같은6개 원묶음은 공통편에 한 번만 수록하도록 정리했고, 부분중복1개 원묶음은 서로 다른 앞논증과 연결에 필요한 내용을 보존하여 해당 번호에 안내했습니다. 판매본의77개 공통 학습묶음과26개 선택 학습묶음은 학습 단위이며 새 고유원형 개수를 뜻하지 않습니다.

구매 전 확인
결론·증명전략 요약은 빠르게 복습하기 위한 자료입니다. 증명 문항을 억지 숫자답으로 바꾸지 않고, 무엇을 보이면 되는지와 사용할 조건·정리·출발점을 안내합니다. 상세해설과 제출용 모범답안을 대신하지 않습니다.
이 자료는 BlueMath가 구성한 수리논술 학습 자료이며, 대학이 발행하거나 승인한 공식 전용 기출집이 아닙니다. 원문·발췌·기존 편집·변형의 구분과 실제 출처는 문항별 표시를 따릅니다. 대학명은 학습 대상과 실제 출처를 구별하여 읽어 주세요.
과목명만으로 학습 범위를 판단하지 않고 문항별 단원·선수개념 표시를 확인해 주세요. 지원 대학의 해당 학년도 출제 범위는 별도로 확인해야 합니다. 모든 대학·모든 학년도의 증명 문항을 빠짐없이 수록했다는 뜻이 아니며 합격이나 적중을 보장하지 않습니다.

BlueMath 블루수학 | 수능·내신·수리논술 최민구

서강대학교 수학과 졸업 · 20년 이상 고등수학 지도

현) 최강교육 고등관 부원장 · 수능·내신·수리논술 강사
현) 대치메이드 목동 수리논술 강사
현) 시대원×에픽 영통·광교 수리논술 강사
현) 논술랭 수리논술 인강 강사
전) 재수종합반 수능만점반·수리논술 특강 5개년 연속 마감
전) 메가스터디 강사
전) 비타에듀 강사

▪ 네이버 강사 프로필
https://naver.me/GZsESOGo

▪ 수리논술 합격자 현황
https://blog.naver.com/mingu119/224086671009

▪ 수리논술 합격생 수강 후기
https://m.blog.naver.com/mingu119/224109066344

▪ 9월 모의고사 결과
https://blog.naver.com/mingu119/224399401459

▪ 10월 모의고사 결과
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대학별 수리논술 파이널과 수능·내신 PDF 자료를 제공합니다. 현장 수업 경험을 바탕으로, 문제 접근부터 답안 완성까지 ‘왜 그렇게 푸는지’ 설명하는 상세해설을 담습니다.

▪ 단국대 수리논술 수험 후기
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▪ 연세대 수리논술 문항 분석
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▪ 중앙대 수리논술 총정리
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※ 오프라인 수강생용 추가 최종점검 스페셜 자료와 첨삭리포트는 온라인 구매에 포함되지 않습니다.

공통77학습묶음: C001–C077

1. 문제편82쪽
2. 상세해설·제출용 모범답안1권62쪽·2권63쪽·3권62쪽(총187쪽)
3. 결론·증명전략 요약24쪽
4. 목차·범위·학습 순서·출처·수록 대응 안내9쪽
5. 미리보기26쪽

[정수·다항식과 귀류법]
C001 | 유리근이라는 가정에서 얻는 모순
증명목표: 삼차방정식의 실근을 유리수라고 가정하여 정수의 약수 관계에서 모순을 이끌어냅니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 1교시 문제 2 [2] · 대학 공식 원문 대조
C002 | 정수방정식의 해를 만들고 불가능한 경우를 가르기
증명목표: 정수방정식의 항등식으로 새 해를 만들고, 해의 유일성 또는 불가능성을 경우별로 판단합니다.
실제 출처: 옥스퍼드대학교 2022 · MAT · 문제 2 (i)–(v) · 대학 공식 원문 대조
C003 | 귀납법으로 만드는 다항식의 인수
증명목표: 다항식의 인수 관계를 수학적 귀납법으로 증명하고 높은 차수 다항식의 나머지를 구합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 2교시 문제 2 [3](1)–(2) · 대학 공식 원문 대조
C004 | 정수 수열의 배수성을 귀납으로 증명
증명목표: 세제곱 점화식으로 정한 수열에서 제곱에 2를 더한 수의 거듭제곱 배수성을 증명합니다.
실제 출처: 한국외대 글로벌 워크북 W11 · 교재 표기: 한국외대 2023 기출 10; 대학 원문 별도 미대조
C005 | 귀류법으로 다항함수의 유일성 증명
증명목표: 실수 전체에서의 오차 제한과 한 점의 극한조건으로 다항함수를 유일하게 결정합니다.
실제 출처: 한국외대 글로벌 워크북 W13 · 기존 외대 기출문항카드 2를 재구성한 교재 문항; 대학 원문 별도 미대조
C006 | 제곱의 나머지와 정수해의 귀류법
증명목표: 제곱의 나머지와 가장 작은 해를 이용하는 귀류법으로 정수방정식의 해를 빠짐없이 결정합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 1-3 · 자체 예상문항
C007 | 큰 항을 계산하지 않고 결정하는 배수성
증명목표: 수열의 배수성을 증명한 뒤 몫의 나머지까지 조사하여 나누어떨어지는 거듭제곱의 정확한 지수를 구합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 1-4 · 한국외대 글로벌 워크북 W11 배수성 발상 참고 변형; 교재의 외대 2023 기출 10 표기는 대학 원문 별도 미대조
C008 | 네 정숫값에서 모든 정숫값으로
증명목표: 삼차 이하 다항식의 네 정숫값에서 출발하여 모든 정수 입력에서 값이 정수임을 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 1-2 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 문항 40의 소재 참고 변형; 이화여대 2019 표기는 대학 원문 별도 미대조
C009 | 여러 항의 곱의 항등식과 서로소인 수들
증명목표: 특별한 정수 수열의 곱항등식과 서로소 성질을 증명하여 서로 다른 소인수의 개수를 확보합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 1-3 · 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 17-2와 수열·곱항등식·서로소 핵심 논제 동일, 마지막 결론은 유한한 소인수 개수로 구성; 한양대 2012 수시 표기는 대학 원문 별도 미대조
C010 | 홀수 부분으로 분류하는 배수 관계의 증명
증명목표: 정수를 홀수 부분에 따라 분류하여 많은 수를 고르면 배수 관계가 생김을 증명하고 경계의 반례를 만듭니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 1-4 · 자체 예상문항
C011 | 확대 함수식과 일정한 오차 범위의 모순
증명목표: 확대 함수방정식과 일정한 오차 제한으로 함수를 유일하게 정하되 수열의 극한은 사용하지 않습니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 1-2 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 문항 42-(1)의 확대·축소 함수식 발상 참고 변형; 연세대 2025학년도 모의논술은 교재 표기
C012 | 최솟값 조건에서 함수식과 유리수 배수까지
증명목표: 반직선 구간의 최솟값 조건에서 증가성과 곱셈 함수식을 도출하고 유리수배의 함숫값 관계를 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 1-3 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 문항 37의 조건과 (1)·(2) 참고 재구성; 이화여대 2025학년도 모의논술은 교재 표기
C013 | 유리수인 해가 가져야 할 홀짝 조건
증명목표: 정수계수 다항식의 유리수해가 가져야 할 홀짝 조건을 증명하고 배제되는 비와 가능한 반례를 구분합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 1-4 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 문항 45의 홀짝 귀류법 발상 변형; 울산대 2023학년도 논술은 교재 표기

[수열·유한합과 수학적 귀납법]
C014 | 등차수열과 등비수열의 대소관계
증명목표: 등차수열과 등비수열을 같은 초항에서 시작할 때 세 번째 항 이후의 대소관계를 수학적 귀납법으로 증명합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2024학년도 이학계열 1-3 · 원문의 세 소문항을 통합한 기존 기출 편집
C015 | 제곱수 일반항의 귀납과 교대 유한합
증명목표: 이웃한 항의 차가 주어진 수열의 일반항을 증명하고 교대합을 구합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 기본 FINAL 제4회 1-2 · 기존 제작문항, 대학 공식 기출 아님
C016 | 거듭제곱 부등식과 등호 조건
증명목표: 거듭제곱 부등식을 수학적 귀납법으로 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건을 찾습니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 FINAL 10SET SET 05 1-2 · 기존 제작문항, 대학 공식 기출 아님
C017 | 피보나치 수열 제곱합의 귀납 증명
증명목표: 피보나치 수열의 제곱합을 이웃한 두 항의 곱으로 나타내는 항등식을 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 FINAL 10SET SET 05 1-3 · 기존 제작문항, 대학 공식 기출 아님
C018 | 피보나치 곱의 차와 교대 유한합
증명목표: 피보나치형 수열의 교대 부호 항등식을 증명하고 역수 곱의 합을 정리합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 업그레이드 FINAL 제10회 1-2 · 기존 제작문항; 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 1-2의 발상과 관련
C019 | 절댓값 반복과 실근 개수의 귀납
증명목표: 절댓값 연산을 반복한 함수의 실근 개수와 실근들의 네제곱합을 귀납적으로 구합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 업그레이드 FINAL 제15회 1-1 · 기존 제작문항, 대학 공식 기출 아님
C020 | 제곱근 근삿값 반복의 유한 일반항
증명목표: 제곱근을 근사하는 수열의 하한과 감소성을 증명하고 비의 제곱 점화식으로 일반항을 구합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 업그레이드 FINAL 제15회 1-2 · 기존 제작문항; 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 연습 34와 점화식·일부 논제 중복
C021 | 두 번의 값 변화와 귀류법으로 분석하는 수열
증명목표: 영항 개수의 홀짝으로 정한 수열의 짝수 항·어느 항 이후로도 일정하지 않음·정해진 범위의 영항 개수를 판정합니다.
실제 출처: FINAL WORKBOOK 추가51제 재편집본 WB51 · 기존 교재 문항, 대학 공식 기출로 표시하지 않음
C022 | 분수로 정의된 수열의 일반항과 여러 항의 곱
증명목표: 분수 점화식의 일반항을 귀납적으로 검증하고 연속한 여러 항의 곱을 구합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 1-1 · 자체 예상문항
C023 | 정수에서의 함수식과 귀납법
증명목표: 정수 위의 함수방정식으로 모든 함숫값을 결정하고 차가 주어진 모든 정수쌍을 분류합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 1-2 · 자체 예상문항
C024 | 거듭제곱 부등식과 등호의 조건
증명목표: 가중 거듭제곱 부등식을 인수분해와 귀납법으로 증명하고 등호 조건을 정합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 1-1 · 한국외대 글로벌 워크북 W12 재구성; 교재의 외대 2023 모의 연계는 대학 원문 별도 미대조
C025 | 두 정수 수열과 제곱근을 사이에 두는 구간
증명목표: 두 정수 수열의 이차식 불변량을 증명하여 제곱근을 원하는 짧은 유리수 구간 안에 가둡니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 1-1 · 자체 예상문항

[연속과 실근의 존재]
C026 | 진동하는 삼각함수를 포함한 함수의 연속
증명목표: 진동하는 사인값의 크기를 제한하여 곱으로 주어진 함수의 원점 연속성을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 5-2 (원교재 PDF 32쪽) · 원대학·원시험 출처 미확인
C027 | 유리수와 무리수에 따라 정의된 함수의 연속
증명목표: 유리수와 무리수에서 식이 달라지는 함수가 원점에서 연속임을 끼워넣기로 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 5-3 (원교재 PDF 33쪽) · 서강대 2013 수시 기출 · 기출(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C028 | 한 점에서의 연속성으로 사인함수의 전체 연속성 설명
증명목표: 단위원의 넓이와 현의 길이만으로 사인함수의 원점 연속성을 모든 실수에서의 연속성으로 확장합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 5-4 (원교재 PDF 34쪽) · 원대학·원시험 출처 미확인
C029 | 홀수차 실계수 다항방정식의 실근 존재
증명목표: 홀수차 실계수 다항식의 양 끝 부호로 실근이 적어도 하나 존재함을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 6-1 (원교재 PDF 36쪽) · 한양대 2009 모의 · 기출(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C030 | 삼차방정식의 세 실근이 놓이는 구간
증명목표: 삼차함수가 서로 다른 세 실근을 갖는 조건으로 가장 작은 근과 가장 큰 근의 범위를 증명합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2022학년도 공학계열 본고사 2-3 · 보유 기출 원본 대조
C031 | 방정식의 실근이 없다는 증명
증명목표: 함수값의 범위와 부호로 실근의 부재를 증명하고 합성 유리함수가 최대·최소를 갖는 매개변수 조건을 정합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 1교시 문제 1 [2](1)–(2) · 대학 공식 원문 대조
C032 | 사잇값 정리로 실근의 개수와 위치 결정
증명목표: 삼차방정식의 실근 개수와 위치를 판정하고, 그 근에 가장 가까운 정수를 결정합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2021학년도 이학계열 1-1 · 보유 기출 원본 대조
C033 | 두 적분조건이 보장하는 서로 다른 두 실근
증명목표: 두 적분조건이 열린구간 안의 서로 다른 두 영점을 보장함을 증명하고 이차함수의 경우를 계산합니다.
실제 출처: Blue Math 한국항공대 이학 기본 FINAL 제3회 2-3 · 기존 제작문항, 대학 공식 기출 아님
C034 | 사잇값정리와 세 구간의 합
증명목표: 연속함수의 끝값만으로 직선과의 교점 및 일정한 길이 구간의 함수값 증가량을 보장합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 2-1 · 자체 예상문항
C035 | 네 실근에서 끌어내는 계수의 부등식
증명목표: 사차식의 네 양의 실근으로 보조 삼차식의 실근 위치와 계수의 엄격한 부등식을 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 2-2 · 자체 예상문항
C036 | 사잇값정리로 같은 값을 만드는 점을 찾고 유일성 증명
증명목표: 자기 자신과 값이 같은 점의 존재·유일성을 증명하고 반복 대입의 유한 단계 오차 및 등호 예를 구합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 2-2 · 자체 예상문항

[미분계수·롤의 정리·평균값 정리]
C037 | 미분계수의 정의로 곱의 미분법 증명
증명목표: 미분계수의 정의에서 곱의 미분법을 유도하고 주어진 점의 미분계수를 계산합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2026학년도 이학계열 본고사 1-1 · 기존 기출 편집
C038 | 진동함수의 연속성과 미분가능성
증명목표: 진동함수의 원점 연속성과 미분가능성 조건을 차분몫과 크기 비교로 판정하며 도함수 연속성 문항은 다루지 않습니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 7-3 (원교재 PDF 43쪽) · 서울대 2006 정시 구술/ 한양대 2013 모의 변형 · 변형(교재 표기; 복수 출처); 대학 원문 별도 미대조 · 이번 권 수록: (1), (2), (3)
C039 | 반복된 근과 롤의 정리로 실근 다섯 개 확인
증명목표: 끝점의 중근과 롤의 정리를 반복 적용하여 다섯 번 미분한 다항식의 서로 다른 내부 실근 개수를 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 8-1 (원교재 PDF 47쪽) · 원대학·원시험 출처 미확인
C040 | 정적분의 평균값을 갖는 내부의 점
증명목표: 연속함수의 적분 평균값이 열린구간 안의 한 함숫값과 같아짐을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 6-4 (원교재 PDF 39쪽) · 원대학·원시험 출처 미확인
C041 | 정적분의 평균값으로 평균값 정리 도출
증명목표: 앞서 증명한 적분 평균값 성질로 도함수에 대한 평균값 정리를 도출합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 6-5 (원교재 PDF 40쪽) · 서울대 2008 정시 · 기출(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C042 | 두 버스의 속도가 같아지는 시각
증명목표: 동시에 출발하고 도착한 두 버스의 속도가 중간의 어떤 시각에 같아짐을 롤의 정리로 설명합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2021학년도 이학계열 1-2 · 롤의 정리를 문항에 명시한 기존 기출 편집
C043 | 두 자전거의 속도 관계를 보장하는 시점
증명목표: 두 자전거의 서로 다른 출발·도착 조건에서 속도의 배수 관계와 차를 만족하는 내부 시각의 존재를 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 9-1 (원교재 PDF 49쪽) · 고려대 2009 모의 변형 · 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C044 | 여러 점의 미분계수와 그 역수의 합
증명목표: 함수의 끝값 조건에서 여러 점의 미분계수 합과 양의 미분계수 역수 합을 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 9-2 (원교재 PDF 50쪽) · 한양대 2015 수시 변형 · 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C045 | 평균값 정리로 두 제곱근의 차 비교
증명목표: 제곱근함수를 미분하지 않고 이차함수에 평균값 정리를 적용하여 두 제곱근의 차를 유리수 사이에 놓습니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 9-4 (원교재 PDF 52쪽) · 서강대 2013 수시 · 기출(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C046 | 홀함수 조건으로 삼차함수 결정
증명목표: 홀함수 조건과 지정된 함수값을 이용하여 삼차함수의 식을 결정하며 사인함수의 미분은 사용하지 않습니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2026학년도 수시 논술(논술전형) · 자연계열Ⅰ 문제 1 (1)–(4) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1)
C047 | 평균값정리를 적용할 구간을 직접 만드는 증명
증명목표: 세 점에서의 미분계수 합과 임의의 개수의 점에서의 양의 미분계수 역수 합을 평균값 정리로 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 2-3 · 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 9 문제 9-2 참고 재구성; 한양대 2015 수시 변형은 교재 표기이며 대학 원문 별도 미대조
C048 | 연속을 가정하지 않은 도함숫값의 증명
증명목표: 도함수의 연속성을 가정하지 않고 중간 도함숫값의 존재를 증명한 뒤 정숫값 도함수를 갖는 함수를 결정합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 2-1 · 자체 예상문항
C049 | 끝점의 미분계수와 평균 기울기를 넘는 도함숫값
증명목표: 끝점에서 수평인 접선을 갖는 함수가 내부에서 더 큰 기울기를 가져야 함을 증명하고 삼차식의 경우를 결정합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 2-4 · 자체 예상문항
C050 | 보조함수를 만들어 롤의 정리를 적용하기
증명목표: 두 함수의 차로 보조함수를 만들어 평균변화율의 비를 내부 미분계수의 비로 나타냅니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 2-1 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 평균변화율 비교 설명에서 출발한 자체 증명 변형
C051 | 도함수의 한 점 조건과 전체 구간의 등호
증명목표: 한 점의 엄격한 도함수 조건이 전체 구간의 엄격한 차이를 강제함을 증명하고 끝점 등호에서 함수를 결정합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 2-3 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 도함수 제한과 평균값 정리 발상 참고 변형
C052 | 함수식에서 미분계수를 직접 얻고 해의 존재를 증명
증명목표: 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 함수식과 한 점의 미분가능성으로 전체 도함수 및 해의 존재·유일성을 증명합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제3회 2-4 · 『2026 시대인재 우주설 수리논술 엑셀시어 연세대』 문항 36의 함수식 및 (5) 참고 확장; 이화여대 2025학년도 모의논술은 교재 표기

[증가·역함수와 정적분의 논증]
C053 | 로그의 일대일성과 반복합성
증명목표: 로그함수의 실근 개수와 반복 합성함수의 일대일 성질·함수값 합을 다루며 수열의 극한 문항은 제외합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 2교시 문제 1 [1](1)–(4) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (2), (3), (4)
C054 | 로그의 밑 변환으로 만드는 원주율의 범위
증명목표: 로그의 밑 변환 공식을 증명하고 주어진 수의 부등식으로 원주율의 로그 범위를 비교합니다.
실제 출처: 케임브리지대학교 입학 활용 시험 2018 · STEP I · 문제 2 도입부 및 (i)–(iii) · 대학 공식 원문 대조
C055 | 구간별 함수의 증가와 역함수
증명목표: 구간별 제곱근 함수의 증가와 역함수 존재를 증명하고 직사각형의 넓이 및 다항식 적분만으로 두 적분값을 구합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2025학년도 수시 논술전형 · 자연계열Ⅱ 문제 2 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조
C056 | 적분으로 비교하는 오차의 크기
증명목표: 정적분을 계산한 뒤 두 적분의 차를 다항식 적분으로 비교하여 오차를 제한합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 1교시 문제 2 [3](1)–(2) · 대학 공식 원문 대조
C057 | 적분구간이 한 점일 때의 함수값
증명목표: 적분구간의 양 끝이 같아지는 값을 직접 대입하여 초기 함수값을 결정합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2025학년도 수시 논술전형 · 자연계열Ⅰ 문제 3 (1)–(3) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1)
C058 | 구간별 로그함수의 연속성과 역함수
증명목표: 구간별 로그·일차함수의 접합점 연속성과 전체 증가를 확인하여 역함수가 존재함을 증명합니다.
실제 출처: 한양대학교 서울 2026학년도 · 학생부종합(면접형) 제시문 면접 자연계열 수학 · 1번 · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (1-1), (1-2)
C059 | 곡선과 직선 사이의 넓이 부등식
증명목표: 삼차곡선과 직선의 교점·접선을 구하고 두 넓이의 차를 양수로 정리하여 넓이 부등식을 증명합니다.
실제 출처: 케임브리지대학교 입학 활용 시험 2018 · STEP I · 문제 1 전체 · 대학 공식 원문 대조
C060 | 공통접선의 고정점과 넓이의 비
증명목표: 유일한 교점을 다항식의 최솟값으로 바꾸어 접선의 고정점과 두 넓이의 비를 공통과목 범위에서 증명합니다.
실제 출처: 인하대학교 2025학년도 자연계열 오후 문제 2, 2-1–2-3 · 공개 재게시본 대조
C061 | 사인제곱 유한합의 짝짓기
증명목표: 삼각함수의 대칭과 제곱합 항등식으로 주어진 유한합을 계산하며 미분·적분 문항은 제외합니다.
실제 출처: 인하대학교 2025학년도 자연계열 오전 문제 1, 1-1–1-3 · 공개 재게시본 대조 · 이번 권 수록: (1-1)
C062 | 적분과 미분의 관계를 정의로 설명하기
증명목표: 연속함수의 누적 적분을 차분몫으로 미분하고 이를 이용해 정적분과 원시함수 끝값의 관계를 증명합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 문제 13-1 (원교재 PDF 84쪽) · 인하대 2011 모의 변형(교재 표기); 대학 원문 별도 미대조
C063 | 적분으로 정의한 함수와 내점의 존재
증명목표: 곱의 미분법과 정적분의 관계를 직접 연결하여 적분 등식·내점의 존재·전체 구간 영함수 조건의 동치를 증명합니다.
실제 출처: 이화여자대학교 2026학년도 수시 논술(논술전형) · 자연계열Ⅰ 문제 3 (1)–(4) · 대학 공식 원문 대조
C064 | 로그수열의 증가 증명
증명목표: 로그의 증가성과 양의 분수의 유한한 대소 비교만으로 새 수열의 증가성을 증명합니다.
실제 출처: 광운대학교 2024학년도 자연 1교시 문제 1 [1](1)–(2) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (2)
C065 | 정적분으로 정의한 수의 존재와 위치
증명목표: 다항식 적분이 영이 되는 양수의 존재·유일성과 두 구체적인 경우의 위치를 증명하며 수열 극한은 제외합니다.
실제 출처: 옥스퍼드대학교 2022 · MAT · 문제 3 (i)–(vi) · 대학 공식 원문 대조 · 이번 권 수록: (i), (ii), (iii), (iv), (v)
C066 | 평균값 정리에서 정적분 부등식과 등호까지
증명목표: 도함수의 하한으로 정적분 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 함수를 모두 찾습니다.
실제 출처: 한국외대 글로벌 워크북 W28 · 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 11 문제 11-4의 발상을 재설계
C067 | 정적분의 가중평균과 이차함수의 정확한 오차
증명목표: 가중평균값을 갖는 내점의 존재를 증명하고 이차함수의 정확한 적분 오차와 모든 등호 함수를 구합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제1회 2-4 · 자체 예상문항
C068 | 적분의 부호에서 두 도함숫값의 차까지
증명목표: 끝점의 양숫값과 영인 적분값에서 두 영점 및 두 미분계수 차의 엄격한 하한을 이끌어냅니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 2-2 · 자체 예상문항
C069 | 적분 등식이 강제하는 함수값의 범위
증명목표: 함수와 제곱의 적분값이 같으면 함수가 기본 범위를 벗어나야 함을 증명하고 모든 이차식 예를 구합니다.
실제 출처: Blue Math 기존 최종점검 제2회 2-3 · 자체 예상문항

[경우의 수와 좌표·도형의 증명]
C070 | 대응으로 세는 제한된 경로
증명목표: 최초로 조건을 어긴 지점에서 경로를 반사하는 일대일 대응으로 제한된 경로의 수를 구합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 22 문제 22-3 (원교재 PDF 149쪽) · 교재 표기: 연세대(원주) 2012 수시 변형. 대학 원문 미대조.
C071 | 두 집단의 조합으로 세는 제곱합
증명목표: 두 집단에서 정해진 인원을 고르는 경우를 나누어 조합의 제곱합을 증명하며 원문 (1)만 독립적으로 다룹니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 22 문제 22-4 (원교재 PDF 150쪽) · 교재 표기: 서울대 2002 수시 변형. 대학 원문 미대조. · 이번 권 수록: (1)
C072 | 접선과 사인·코사인법칙으로 길이 증명
증명목표: 원의 접선과 삼각형의 각 관계를 증명하고 사인법칙·코사인법칙으로 두 선분의 길이를 구합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2025학년도 공학계열 본고사 2-2(1)–(3) · 보유 기출 원본 대조
C073 | 변하는 삼각형의 일정한 외접원 반지름
증명목표: 변하는 삼각형에서 한 각의 크기가 일정함을 확인하고 외접원의 반지름이 일정함을 증명합니다.
실제 출처: 한국항공대학교 2021학년도 공학계열 본고사 2-1(3) · 보유 기출 원본 대조
C074 | 포물선 접선과 접원의 두 불변량
증명목표: 포물선 위의 점이 움직일 때 두 길이식이 일정함을 증명하고 원의 둘레와 길이 제곱의 비의 극한을 구합니다.
실제 출처: 성균관대학교 2025학년도 · 논술우수전형 수리형 1교시 · 1번 · 대학 공식 원문 대조
C075 | 포물선의 두 접선과 초점의 각
증명목표: 이차함수의 접선식과 삼각형의 코사인법칙만으로 포물선의 두 접선 교점 및 초점에서의 각 이등분선 성질을 증명합니다.
실제 출처: 케임브리지대학교 입학 활용 시험 2011 · STEP I · 문제 4 전체 · 대학 공식 원문 대조
C076 | 두 교점의 중점이 그리는 자취
증명목표: 주어진 이차방정식과 직선의 두 교점에 근과 계수의 관계를 적용하여 중점의 자취와 제외되는 끝점을 구합니다.
실제 출처: 『Blue Math 수리논술 개념총정리』 Lecture 19 문제 19-2 (원교재 PDF 136쪽) · 교재 표기: 연세대 2008 예시/아주대 2009 예시/아주대 2013 수시/서울대 2008 예시. 소문항별 원출처 미확인. · 이번 권 수록: (2)
C077 | 타원의 초점을 지나는 두 수직선
증명목표: 거리의 합에서 곡선의 방정식을 직접 유도하고 이차방정식의 근의 관계로 현의 불변량과 수직인 두 현의 비를 증명합니다.
실제 출처: 성균관대학교 2025학년도 · 과학인재전형 제시문면접·구술 2교시 수학 · 1번 · 대학 공식 원문 대조